Tipos de Limites

tipos de limites 

los tipos de limites pueden ser que uno de los limites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinación entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que: lım x→2+ f(x)=+∞

 y lım x→2− f(x)=b. 

Limites finitos en el infinito: Se dice que una función tiene limite b cuando x tiende a +∞ cuando la función se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir:

lımx→∞ f(x) = b

Gráficamente:

En este caso el limite es 2 cuando x tiende a +∞. De igual modo se define el limite finito cuando x tiende a −∞.

Limites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la función se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞). 

Un ejemplo gráfico de este tipo de limites seria:

En este caso: l´ımx→∞ f(x) = −∞

Lımites en el infinito 

1. Limites de polinomios: El limite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del t´termino de mayor grado del polinomio: 

l´ımx→∞(2x5 − 3x2 + 5) = +∞ 

lımx→∞(−3x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo.

 2. Indeterminación ∞ ∞ : Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeterminada de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla:

Si tenemos:

Ejemplos: 

a) lımx→∞ x3 − 5x2 + 6 −x2 + 4 = ∞ ∞ = −∞

porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente. 

B)

B) lım x→∞ x2 − 5 x6 − x4 − 3x2 + 4 = ∞ ∞ = 0

porque el grado del denominador es mayor.

c) lım x→∞ 7x3 + 2x − 6 −3x3 + 6 = ∞ ∞ = −7 3

porque los grados son iguales.

Nota: La resolución de limites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que:

lım x→−∞ f(x) = lımx→∞ f(−x)

es decir

La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan raíces, siempre que tengan sentido los lımites. 

d) x→∞ 3 + √x3 − 5x x2 + 4 = ∞ ∞ = 0

Limites y Funciones

El concepto de limite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado punto o en el infinito.Veamos un ejemplo: Consideremos la función dada por la gráfica de la figura y fijémonos en el punto x =2 situado en el eje de abscisas: 

¿Que ocurre cuando nos acercamos al punto 2 moviéndonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001. Vemos en la figura que en este caso las imágenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y =3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las imágenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan también al mismo valor, y =3. Concluimos que el limite de la función f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos como: lım x→2 f(x)=3 Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el limite de una función en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la función, f(x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto

limite y continuidad de funciones

 Dada una función f(x) y un punto x = a, se dice que el limite de f(x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como: lımx→a f(x) = L cuando: Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < Lo que viene a expresar esta formulación matemática es que si x esta “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) también esta muy próxima a L. 

En la practica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados limites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma:  Se define el limite lateral por la derecha de a de la función f(x), y se expresa como: lım x→a+ f(x) al limite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el limite lateral por la izquierda de a de la función f(x) se expresa como: lım x→a− f(x) y se define como el limite al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a. Propiedad: Para que una función f(x) tenga limite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos limites laterales y coincidan, es decir: lımx→a f(x) = lım x→a+ f(x) = l´ım x→a− f(x)